1. Рассмотрим внимательно предложенную схему дорог.

2. Будем обозначать через N_X количество различных путей из города А в город X.

3. Для города А есть только один маршрут – никуда не двигаться, поэтому N_A = 1. 

4. Для любого города X количество маршрутов N_X можно вычислить как:

где сумма взята по всем вершинам, из которых есть прямой путь в вершину X; например: 

NМ = NЛ + NК

3. В свою очередь 

NЛ = NК = NИ, а NИ = NЕ + NЖ + NЗ. 

4. Согласно условию нам необходимо подсчитать сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж. В связи с эим в формуле N_И = N_Е + N_Ж + N_З значения  N_Е и N_З равны 0, т.е. пункты Е и З не учитываем.

5. В то же время в для пункта Ж количество путей мы посчитаем по формуле:

NЖ = NЕ + NБ + NВ + NГ + NД + NЗ

где значения пунктов Е и З будем учитывать:

NЕ = NБ; NЗ = NД

NБ = NА = 1

NВ = NБ + NА + NГ

NГ = NД + NА

NД = NА = 1

6. Собираем теперь пути в обратном направлении:

NГ = NД + NА = 1 + 1 = 2

NВ = NБ + NА + NГ = 1 + 1 + 2 = 4

NЕ = NБ = 1 

NЗ = NД = 1

NЖ = NЕ + NБ + NВ + NГ + NД + NЗ = 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1 = 10

NИ = NЕ + NЖ + NЗ = 0 + 10 + 0 = 10

NЛ = NК = NИ = 10

NМ = NЛ + NК = 10 + 10 = 20

Ответ: 20