Задача

Для игры, описанной в предыдущем задании (задание 19), найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Решение

Для того, чтобы выиграь, Петя должен перевести игру в такую позицию, что Ваня не смог выиграть своим первым ходом, но, добавив один камень в любую кучу, Петя сможет выиграть своим вторым ходом.

Рассмотрим такие позиции, в которых при удвоении большей кучи в сумме должно получаться 76 камней. Так как это уже второй ход от начала игры, то будем считать, что в меньшей куче было 8 камней (+1), а затем переберем все варианты, увеличивая количество камней в куче в 2 раза(10, 12 и т.д. Это необходимо потому, что 76 - четное число. И при вычитании из него четного числа - разность четна, т.е. делится на 2 нацело):

 Из перечисленных вариантов необходимо выбрать те, что можно получить из начальной позиции (7, S) за один ход (Петя добавляет камни в первую кучу):

ДЛя указанных случаев у нас есть проигрышные позиции для Вани:

Условию задания удовлетворяют значения S = 31 и S = 34, их нужно записать в порядке возрастания.
Ответ: 31 34.